Professor: Luis Felipe Feres Pereira
9.2.1 Resumo:
Os reservatórios de petróleo localizados no pré-sal brasileiro são bastante profundos (podendo chegar a 1 Km de profundidade), em contraste com reservatórios usuais que possuem apenas alguns metros na direção vertical. A simulação numérica eficiente (rápida e precisa) de escoamentos multifásicos nos reservatórios grandes do pré-sal apresenta novos desafios (ligados aos problemas computacionais de grande porte) que não são resolvidos adequadamente por simuladores comerciais disponíveis no mercado. Estes simuladores, que foram desenvolvidos com o objetivo de realizar simulações numéricas de reservatórios consideravelmente menores do que os encontrados no pré-sal, são muito lentos quando utilizados em reservatórios de interesse para a indústria do petróleo brasileira. Simuladores devem fazer uso de métodos numéricos inovadores, capazes de tirar proveito de arquiteturas de última geração do tipo multicore, na simulação eficiente de problemas de recuperação de petróleo de grande porte.
Métodos numéricos multi-escala para problemas elípticos e parabólicos possuem potencial para tirar proveito de tais arquiteturas, pois problemas grandes são decompostos em diversos problemas menores que podem ser resolvidos em cores distintos. O desenvolvimento de simuladores para a indústria de petróleo que fazem uso de técnicas multi-escala é um tópico que tem atraído a atenção de diversos grupos de pesquisa. Mencionamos, por exemplo, os trabalhos recentes de [2,3]. No entanto, cabe ressaltar que nestes dois trabalhos os algoritmos não foram desenhados para processamento em paralelo.
O problema modelo para o desenvolvimento de técnicas multi-escala é a equação para pressão em escoamentos monofásicos em meios porosos. Sugerimos ao leitor a publicação [4] para referencias e também para uma comparação de vários procedimentos deste tipo desenvolvidos até 2008. Estes métodos utilizavam condições de fronteiras ad-hoc na construção de funções de base multi-escala. Desenvolvimentos mais recentes incluem [1,5,6,7], nos quais procedimentos mais precisos tem sido investigados. O grupo de pesquisa ligado ao Prof. Pereira fez uso de técnicas de decomposição de domínios no desenvolvimento do método MuMM (Multiscale Mixed Method, veja [1]) evitando assim o uso de condições de fronteira que geram imprecisões no cálculo da velocidade. No trabalho apresentado em [1] um algoritmo iterativo para a decomposição de domínios é definido, tirando proveito de malhas múltiplas e uma nova família de funções de base multi-escala. As novas funções de base são definidas para representar soluções discretas em subdomínios. Este procedimento apresenta algumas propriedades que devem ser ressaltadas:
A aproximação é localmente conservativa por conta da utilização de elementos finitos mistos. Coeficientes descontínuos (situação típica encontrada na simulação de reservatórios de petróleo) e termos de fonte podem ser considerados.
Três escalas de comprimento são introduzidas na definição do procedimento: a solução é procurada na escala mais fina; funções de base multi-escala são definidas nos subdomínios associados à maior das três escalas. A conservação do fluxo, indispensável para no estudo de escoamentos em meios porosos, é diretamente imposta em uma escala intermediária.
Se a maior e a menor escala coincidem então o novo método reproduz exatamente a solução por elementos finitos mistos na escala mais refinada.
O esquema iterativo entre subdomínios, que é baseado nas condições de interface de Robin impostas na escala intermediária, é de implementação simples.
O procedimento se adequa bem a unidades de processamento heterogêneas (CPU-GPU): todos os problemas locais podem ser eficientemente resolvidos em GPUs.
Os objetivos deste mini-curso são: (i) Apresentar uma introdução à modelagem de escoamentos multifásicos em meios porosos e (ii) Desenvolver software paralelo para o método multiescala MuMM, que se baseia em uma técnica de decomposição de domínio de [2].
9.2.2 Pré-requisitos:
Experiência com uma das seguintes linguagens de programação: C, C++ ou Fortran. Por exemplo, no caso da linguagem C, os alunos devem ter familiaridade com os primeiros 5 capítulos de [9]. Uma observação: Se você tem bons conhecimentos de MATLAB e deseja fazer este curso, com três ou quatro dias de trabalho você tem condições de entender o material citado do livro [9].
9.2.3 Ementa:
Os seguintes tópicos serão discutidos neste mini-curso:
1. Introdução a escoamentos em reservatórios de petróleo: escoamentos monofásicos e bifasicos
2. A pressão global para problemas bifásicos; Quebra de operadores
3. O problema elíptico
4. Discretização por elementos finitos mistos
5. O método de [8]
6. O método de [1]
7. Introdução a MPI, “messagepassing interface” (http://mpitutorial.com/tutorials/)
8. Desenvolvimento de códigos para processamento serial e em paralel
9.2.4 Programa para as aulas:
Aula #1: Serão discutidos os tópicos 1-6 da ementa.
Aula #2: Desenvolvimento de software para processamento serial.
Aulas #3-5: Tópico 7 da ementa. Desenvolvimento de software para processamento em paralelo.
Aula #6: Conclusão dos projetos e competição final. Serão outorgados prêmios para os dois códigos paralelos mais rápidos desenvolvidos no curso.
9.2.5 Arquivos:
9.2.6 Referências:
[1] A. Francisco, V. Ginting, F. Pereira, J. Rigelo, Design and Implementation of a Multiscale Mixed Method for Porous Media Flows, Mathematics and Computers in Simulation, 99, (2014) 125-138.
[2] H. Hajibeygi, H. Tchelepi, Compositional Mutiscale Finite-Volume Formulation SPE-163664-PA, SPE Journal, 2014.
[3] A. Kozlova, J. R. Natvig, S. Watanabe, Y. Zhou, K. Bratvedt, S. H. Lee, A Real-Field Multiscale Black-Oil Reservoir Simulator, SPE-173226-MS, 2015.
[4] V. Kippe, J. E. Aarnes and K. Lie, A comparison of multiscale methods for elliptic problems in porous media flows, Computational Geosciences, Vol. 12, Number 3, (2008) 377-398.
[5] Y. Efendiev, T. Hou, Multiscale finite element methods: theory and applications. Springer, (2009).
[6] M. Wheeler, T. Wildey and G. Xue, Efficient algorithms for multiscale modeling in porous media flows, Numer. Linear Algebra Appl., 17, (2010) 771-785.
[7] B. Ganis and I. Yotov, Implementation of a mortar mixed finite element method using a multiscale flux basis, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 198 (2009) 3989-3998.
[8] J. Douglas, Jr., P. J. PaesLeme, J. E. Roberts, and J. Wang, A parallel iterative procedure applicable to the approximate solution of second order partial differential equations by mixed finite element methods, Numer. Math., 65 (1993) 95–108.
[9] B. Kernighan and D. Richtie, The C Programming Language, 2nd Edition, Prentice Hall Software Series.
